Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M過坐標(biāo)原點(diǎn)O且圓心在曲線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$上．
（1）若圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B（不同于原點(diǎn)O），求證：△AOB面積為定值；
（2）直線$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$與圓M交于不同的兩點(diǎn)C，D，|OC|=|OD|，求圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)圓M的方程為${（x-t）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{3}}}{t}）^2}={t^2}+\frac{3}{t^2}$，求出圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；
（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗證，即可求圓M的方程．

解答 解：（1）證明：由題意可設(shè)圓M的方程為${（x-t）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{3}}}{t}）^2}={t^2}+\frac{3}{t^2}$，
即${x^2}+{y^2}-2tx-\frac{{2\sqrt{3}}}{t}y=0$．令x=0，得$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{t}$；令y=0，得x=2t．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|=\frac{1}{2}|2t|•|\frac{{2\sqrt{3}}}{t}|=2\sqrt{3}$（定值）．
（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．所以${k_{OM}}=\frac{{\sqrt{3}}}{t^2}=\sqrt{3}$，解得t=±1．
當(dāng)t=1時，圓心M$（1，\sqrt{3}）$到直線$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$的距離$d=2（\sqrt{3}-1）$小于半徑，符合題意；
當(dāng)t=-1時，圓心M$（-1，-\sqrt{3}）$到直線$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$的距離$d=2（\sqrt{3}+1）$大于半徑，不符合題意．
所以，所求圓M的方程為${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．