Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx，（a＞0），令g（x）=f（x）-2ax，若g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，+∞)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-∞，

  1

  2

  )
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，x²-2ax=2alnx兩側(cè)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即y₁=x²-2ax，y₂=2alnx有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=a且過(guò)原點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)若遞減時(shí)，不能有兩個(gè)交點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸越大，有兩個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²-2alnx，（a＞0），
令g（x）=f（x）-2ax=x²-2ax-2alnx=0，
∵g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
∴x²-2ax=2alnx兩側(cè)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即y₁=x²-2ax，y₂=2alnx有兩個(gè)交點(diǎn)，
二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=a，過(guò)原點(diǎn)，
當(dāng)對(duì)數(shù)型函數(shù)所過(guò)的與橫軸的交點(diǎn)在二次函數(shù)與橫軸交點(diǎn)的左邊，
即1＜2a，
所以a＞

1

2

且對(duì)稱(chēng)軸越大，有兩個(gè)交點(diǎn)，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，在解題時(shí)注意對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的整理，變化成基本初等函數(shù)，可以根據(jù)選擇題目的特殊性來(lái)解，即取值檢驗(yàn)．