Question

14．已知E、F是x軸上的點，坐標原點O為線段EF的中點，|$\overrightarrow{FG}|=10，|\overrightarrow{EF}$|=6，G，P是坐標平面上的動點，點P在線段FG上，EG的中點為H，且$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{EG}$=0．
（Ⅰ）求P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知直線l過點E（-3，0）且與軌跡C交于A，B兩點，M為AB的中點，求△OEM面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EG的中點為H，說明PH是線段EG的垂直平分線，得到PE|=|PG|，判斷P點的軌跡為橢圓，設其軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求解即可．
（Ⅱ）推出A，B，E三點共線，設AB所在直線方程為x=my-3，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出M點的縱坐標表示出三角形的面積的表達式，利用基本不等式求解△OEM的面積最大．

解答 解：（Ⅰ）取EG的中點為H，則$\overrightarrow{PE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{PH}$，∵$（\overrightarrow{PE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}）•\overrightarrow{EG}=0$，∴$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{EG}=0$，
∴PH⊥GE，∴PH是線段EG的垂直平分線，…（2分）
∴|PE|=|PG|，∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P點的軌跡為橢圓，設其軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，…（4分）
則2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16，
∴$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．…（6分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OE}=α\overrightarrow{OA}+（1-α）\overrightarrow{OB}=α\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-α\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OB}=α（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，∴$\overrightarrow{BE}=α\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，E三點共線，…（8分）．
∵E（-3，0），
設AB所在直線方程為x=my-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my-3\\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.$，整理得（16m²+25）y²-96my-256=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{96m}{{16{m^2}+25}}$，
∴M點的縱坐標為${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$=$\frac{48m}{{16{m^2}+25}}$，…（11分）
∴${S_{△OEM}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OE}}||{y_M}|=\frac{1}{2}×3×$$\frac{48|m|}{{16{m^2}+25}}$=$\frac{72|m|}{{16{m^2}+25}}=\frac{72}{{16|m|+\frac{25}{|m|}}}≤\frac{9}{5}$，
∴當$16|m|=\frac{25}{|m|}$，即$m=±\frac{5}{4}$時，△OEM的面積最大為$\frac{9}{5}$．…（13分）

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應用，軌跡方程的求法，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．考查函數與方程的思想的應用．