Question

1．各項均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列{a_n}同時滿足下列條件：
①a₁=m（m∈N^*）；②a_n≤n-1（n≥2）；③n是a₁+a₂+…+a_n的因數(shù)（n≥1）．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時，寫出數(shù)列{a_n}的前五項；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前三項互不相等，且n≥3時，a_n為常數(shù)，求m的值；
（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n≥M時，a_n為常數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=5時，寫出數(shù)列{a_n}的前五項；
（Ⅱ）對a₂、a₃分類取值，再結(jié)合各項均為非負(fù)整數(shù)列式求m的值；
（Ⅲ）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}＜\frac{{{S_{n+1}}}}{n}=\frac{{{S_n}+{a_{n+1}}}}{n}≤\frac{{{S_n}+n}}{n}=\frac{S_n}{n}+1$．進(jìn)一步推得存在正整數(shù)M＞m，當(dāng)n＞M時，必有$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=\frac{S_n}{n}$成立．再由$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=\frac{S_n}{n}$成立證明a_n為常數(shù)．

解答 （Ⅰ）解：m=5時，數(shù)列{a_n}的前五項分別為：5，1，0，2，2．
（Ⅱ）解：∵0≤a_n≤n-1，∴0≤a₂≤1，0≤a₃≤2，
又?jǐn)?shù)列{a_n}的前3項互不相等，
（1）當(dāng)a₂=0時，
若a₃=1，則a₃=a₄=a₅=…=1，
且對n≥3，$\frac{m+0+（n-2）}{n}=\frac{m-2}{n}+1$都為整數(shù)，∴m=2；
若a₃=2，則a₃=a₄=a₅=…=2，
且對n≥3，$\frac{m+0+2（n-2）}{n}=\frac{m-4}{n}+2$都為整數(shù)，∴m=4；
（2）當(dāng)a₂=1時，
若a₃=0，則a₃=a₄=a₅=…=0，
且對n≥3，$\frac{m+1+0•（n-2）}{n}=\frac{m+1}{n}$都為整數(shù)，∴m=-1，不符合題意；
若a₃=2，則a₃=a₄=a₅=…=2，
且對n≥3，$\frac{m+1+2（n-2）}{n}=\frac{m-3}{n}+2$都為整數(shù)，∴m=3；
綜上，m的值為2，3，4．
（Ⅲ）證明：對于n≥1，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
則$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}＜\frac{{{S_{n+1}}}}{n}=\frac{{{S_n}+{a_{n+1}}}}{n}≤\frac{{{S_n}+n}}{n}=\frac{S_n}{n}+1$．
又對每一個n，$\frac{S_n}{n}$都為正整數(shù)，∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}$$≤\frac{S_n}{n}≤…≤\frac{S_1}{1}=m$，其中“＜”至多出現(xiàn)m-1個．
故存在正整數(shù)M＞m，當(dāng)n＞M時，必有$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=\frac{S_n}{n}$成立．
當(dāng)$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=\frac{S_n}{n}$時，則${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{（n+1）{S_n}}}{n}-{S_n}=\frac{S_n}{n}$．
從而$\frac{{{S_{n+2}}}}{n+2}=\frac{{{a_{n+2}}+{a_{n+1}}+{S_n}}}{n+2}=\frac{{{a_{n+2}}+（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}={a_{n+1}}+\frac{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}{n+2}$．
由題設(shè)知$\frac{{|{a_{n+2}}-{a_{n+1}}|}}{n+2}≤\frac{n+1}{n+2}＜1$，又$\frac{{{S_{n+2}}}}{n+2}$及a_n+1均為整數(shù)，
∴$\frac{{{S_{n+2}}}}{n+2}$=a_n+1=$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}$，故$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=\frac{{{S_{n+2}}}}{n+2}=…$=常數(shù)．
從而${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{（n+1）{S_n}}}{n}-{S_n}=\frac{S_n}{n}$=常數(shù)．
故存在正整數(shù)M，使得n≥M時，a_n為常數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．