Question

6．如圖所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=$\frac{π}{2}$，P為AB的中點，且△ABC與正方形BCDE所在平面互相垂直．
（1）求證：AD∥平面PCE；
（2）求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設BD∩CE=0，連結OP，則OP∥AD，由此能證明AD∥平面PCE；
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）證明：設BD∩CE=0，連結OP，
∵正方形BCDE對角線互相平分，∴O是BD中點，
∵P為AB的中點，∴OP∥AD，
∵AD?平面PCE，OP?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；
（2）∵△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=$\frac{π}{2}$，
P為AB的中點，且△ABC與正方形BCDE所在平面互相垂直，
∴CD⊥平面ABC，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，
建立空間直角坐標系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），
P（$\frac{1}{2}，1，0$），E（0，2，2），
$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{1}{2}，1，0$），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，2），
設平面PCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，2），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角P-CE-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-CE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．