Question

【題目】已知橢圓C的離心率為 ，F1 ， F2分別為橢圓的左右焦點，P為橢圓上任意一點，△PF1F2的周長為 ，直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與圓x2+y2=1相切，過橢圓C的右焦點F2作垂直于x軸的直線，與橢圓相交于M，N兩點，與線段AB相交于一點（與A，B不重合）．求四邊形MANB面積的最大值及取得最大值時直線l的方程；
（Ⅲ）若|AB|=2，試判斷直線l與圓x2+y2=1的位置關系．

Answer 1

【答案】解：（ I）設橢圓的方程為 ，由題可知 ， 解得 ，所以橢圓C的方程為 ．
（ II）令 ，解得 ，所以|MN|=1，
直線l與圓x2+y2=1相切可得 ，即k2+1=m2 ，
聯立直線與橢圓的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0
所以
將k2+1=m2代入可得 ．
當且僅當 ，即 時，等號成立，此時 ．
所以，當 時，四邊形MANB的面積具有最大值 ，直線l方程是 或 ．
（ III）
整理得 ，所以
設圓心到直線l的距離為d，則
設1+k2=t，t≥1，則k2=t﹣1，
所以
當 ，即 時，d2=1，
所以當 時，直線l與圓相切，當 ，時，直線l與圓相交
【解析】（Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；（Ⅱ）由已知求出MN的長度，然后，由直線和圓相切得到m，k的關系，再聯立直線方程和橢圓方程，求出A，B的橫坐標，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四邊形ACBD的面積有最大值時的m，k的值，從而得到直線l的方程．（Ⅲ）由|AB|=2，得到m，k的關系，再用m，k表示圓心到直線l的距離d，求出d的取值范圍即可．