Question

如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，點M在線段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的長；
（Ⅱ）若點N在線段MQ上，且∠MON=30°，問：當∠POM取何值時，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通過余弦定理，求PM的長；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面積，利用兩角和與差的三角函數化簡函數我一個角的一個三角函數的形式，通過角α的范圍，得到相位的范圍，然后利用正弦函數的值域求解三角形面積的最小值，求出面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，
由余弦定理可得，OM²=OP²+MP²-2×OP•MPcos45°，
解得PM的長為1或3；
（Ⅱ）設∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，
OM=，
同理，ON=，
故
=
=
=
=
=
=
因為0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以當α=30°時，sin（2α+30°）的最大值為1，
此時，△OMN的面積最小，面積的最小值．
點評：本題考查正弦定理與余弦定理在三角形中的應用，兩角和與差的三角函數的應用，三角形的最值的求法，考查計算能力與轉化思想的應用．