Question

（08年北京卷文）（本小題共13分）

數(shù)列滿足，（），是常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求及的值；

（Ⅱ）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于，且．

所以當(dāng)時(shí)，得，故．

從而．

（Ⅱ）數(shù)列不可能為等差數(shù)列，證明如下：

由，

得，，．

若存在，使為等差數(shù)列，則，即，

解得．于是，．

這與為等差數(shù)列矛盾．所以，對(duì)任意，都不可能是等差數(shù)列．

（Ⅲ）記，根據(jù)題意可知，且，即

且，這時(shí)總存在，滿足：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以由及可知，若為偶數(shù)，則，從而當(dāng)時(shí)，；若為奇數(shù)，則，從而當(dāng)時(shí)．

因此“存在，當(dāng)時(shí)總有”的充分必要條件是：為偶數(shù)，

記，則滿足．

故的取值范圍是．

【高考考點(diǎn)】遞推數(shù)列，等差數(shù)列的判定及通項(xiàng)公式；數(shù)列與不等式的交匯。

【備考提示】作為壓軸題，往往是綜合性較強(qiáng)，深難度較高，因此，在解壓軸題時(shí)，要注意分段得分、分步得分、跳步得分。要學(xué)會(huì)和敢于取舍。