已知函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）求證：f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)；
（3）已知a，b∈（-1，1），且f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1+ab
)=2，求f（a），f（b）的值．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）直接代入等式即可證明f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)；
（3）根據(jù)條件，解方程即可求f（a），f（b）的值．
解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)．
要使函數(shù)f（x）有意義，則x+1＞0且1-x＞0，
解得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域為（-1，1），
∴定義域關(guān)于原點對稱，
又f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-[lg（1+x）-lg（1-x）]=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵f(a)+f(b)=lg
1+a
1-a
+lg
1+b
1-b
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
，f(
a+b
1+ab
)=lg
1+
a+b
1+ab
1-
a+b
1+ab
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
，
∴f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)．
（3）∵f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)，
∴f（a）+f（b）=1，
又f（a）+f（-b）=2，
∴f（a）-f（b）=2，
由此可得：f(a)=
3
2
，f(b)=-
1
2
．
點評：本題主要考查對數(shù)的基本運算和對數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查學生的運算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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