Question

已知x∈[-1，1]，關(guān)于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，則a的取值是（　　）

A．- tan21+2 2(2tan1+1) 或- 1 2

B． tan21+2 2(2tan1-1) 或- tan21+2 2(2tan1+1)

C． tan21+2 2(2tan1-1) 或- tan21+2 2(2tan1+1) 或- 1 2

D．- 1 2 或  tan21+2 2(2tan1-1)

Answer 1

已知x∈[-1，1]，關(guān)于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，tanx∈[-tan1，tan1]，
∴令t=tanx∈[-tan1，tan1]，可得f（t）=t²-4at+2+2a，對(duì)稱軸為t=2a，
若△=0，可得△=16a²-8a-8=0解得a=1或-

1

2

，
當(dāng)a=1時(shí)，f（t）=（t-2）²≤0可得t=2∉[-tan1，tan1]，故a=1舍去；
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（t）=（t-1）²≤0可得t=1∈[-tan1，tan1]，a=-

1

2

滿足題意；
若△＞0，可得a＞1或a＜-

1

2

，
對(duì)稱軸t=2a，
當(dāng)a＞1時(shí)，2a＞2，f（t）開口向上，要求f（t）=t²-4at+2+2a，有有限個(gè)解
∴f（tan1）=0，只有一個(gè)解x=tan1，（tan1）²-4atan1+2+2a=0，解得a=

tan21+2

2(2tan1-1)

＞1滿足題意，
當(dāng)-tan1＜2a＜1時(shí)，f（t）＜0有無數(shù)個(gè)解，不滿足題意；
當(dāng)2a≤-tan1時(shí)，有f（-tan1）=0，可得，（-tan1）²+4atan1+2+2a=0，解得a=-

tan21+2

2(2tan1+1)

，因?yàn)閠an1=1.557，
∴-2×

tan21+2

2(2tan1+1)

＞-tan1，不滿足題意；
綜上：a=-

1

2

或a=

tan21+2

2(2tan1-1)

，
故選D；