如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,給出下列結(jié)論:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°;⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為
10
4
.其中正確的有
①④⑤
①④⑤
(把所有正確的序號(hào)都填上).
分析:①由PA⊥平面ABC,及正六邊形的性質(zhì)易得:AE⊥平面PAB,所以AE⊥PB,①正確;②由PA⊥平面ABC,易得平面PAB⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯(cuò);③由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD,但是AD與平面PAE相交,所以③錯(cuò);④由PA⊥平面ABC,可得PA⊥AD,又因?yàn)镻A=2AB,所以∠PDA=45°,④正確;⑤由于DE∥AB,從而D到平面PAB的距離即為E到平面PAB的距離,利用直線與平面所成角的定義求出直線PD與平面PAB所成角的正弦值,再轉(zhuǎn)化成直線PD與平面PAB所成角的余弦值即可進(jìn)行判斷.
解答:解:對(duì)于①、由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE,
又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB?平面PAB,
∴AE⊥PB,①正確;
對(duì)于②、又平面PAB⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯(cuò);
對(duì)于③、由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD,又AD?平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯(cuò);
對(duì)于④、在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正確;
對(duì)于⑤、由于DE∥AB,∴D到平面PAB的距離即為E到平面PAB的距離,即E到直線PA的距離,即EA,EA=
3
AB,
在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴PD=2
2
AB,
∴直線PD與平面PAB所成角的正弦值為
3
AB
2
2
AB
=
6
4
,
∴直線PD與平面PAB所成角的余弦值為
1-(
6
4
)2
=
10
4
,∴⑤正確.
故答案為:①④⑤.
點(diǎn)評(píng):本小題考查空間中的線面關(guān)系,正六邊形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和思維能力,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
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9、如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB則下列結(jié)論正確的是( 。

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16、如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:
①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正確的有
①④
(把所有正確的序號(hào)都填上).

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③CF∥平面PAB
④CF⊥平面PAD.

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如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:

①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.

其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上)

 

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