Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，AA₁=4，E是A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求CE與平面ACB所成的角．
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成的角．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于AB于H，連接CH，
則∠ECH就是所求的CE與平面ACB所成的角 （2分）
∵EH=4，CH=
∠ECH=arctan （5分）
即CE與平面ACB所成的角為arctan；
（2）在直三棱柱的下方補(bǔ)上一個(gè)全等的直三棱柱
∵CB₁∥C₂B
∴∠A₁BC₂或其補(bǔ)角就是異面直線BA₁與CB₁所成的角 （8分）
∵BA₁=，C₂B=，A₁C₂=
∴在△A₁BC₂中，由余弦定理可得∠A₁BC₂=arccos（-） （11分）
∴異面直線BA₁與CB₁所成的角為arccos．�。�12分）
分析：（1）由直三棱柱的性質(zhì)考慮過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于AB于H，則∠ECH就是所求的CE與平面ACB所成的角，在Rt△ECH中求解
（2）考慮補(bǔ)形，在直三棱柱的下方補(bǔ)上一個(gè)全等的直三棱柱，由CB₁∥C₂B可得∠A₁BC₂或其補(bǔ)角就是異面直線BA₁與CB₁所成的角
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角的求解及異面直線所成的角，求解線面角的關(guān)鍵是要找到與已知直線垂直的直線，而求解異面直線所成角的關(guān)鍵是要把其中的異面直線中的一條或兩條進(jìn)行平移（即做已知直線的平行線）