Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB=BC，BD⊥AC，E為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PA∥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，又BD⊥AC，可證得AC⊥平面PBD，從而可得AC⊥PB．
（Ⅱ）E為PC的中點(diǎn)，設(shè)AC∩BD=F，連接EF，可得PA∥EF，由線面平行的判定定理可得結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD⊥AC，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，又PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=F，連接EF，
在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，
∴F為AC的中點(diǎn)，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴EF∥PA，而EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)與直線與平面平行的判定，關(guān)鍵在于掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理與直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，屬于中檔題．