Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定義域?yàn)閇-1，0]時(shí)，值域也是[-1，0]，符合上述條件的函數(shù)f（x）是否存在？若存在，求出若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）的對(duì)稱軸是x=-，定義域?yàn)閇-1，0]，按照對(duì)稱軸在定義域[-1，0]內(nèi)、在[-1，0]的左邊和在[-1，0]的右邊三種情況分別求函數(shù)的值域，令其和題目條件中給出的值域相等，求b和c．
解答：解：設(shè)符合條件的f（x）存在，
∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=-，
又b≥0，∴-≤0．
①當(dāng)-＜-≤0，即0≤b＜1時(shí)，
函數(shù)x=-有最小值-1，則或（舍去）．
②當(dāng)-1＜-≤-，即1≤b＜2時(shí)，則（舍去）或（舍去）．
③當(dāng)-≤-1，即b≥2時(shí)，函數(shù)在[-1，0]上單調(diào)遞增，則解得
綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個(gè)，
f（x）=x²-1或f（x）=x²+2x．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問(wèn)題，及分類討論思想，難度一般．