Question

已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性與單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（2）若f（2-a²）＞f（a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判斷函數(shù)f（x）奇偶性，關(guān)鍵是要判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，我們可以根據(jù)分段函數(shù)分段處理的辦法，分x＞0，x=0，x＜0三種情況討論，而要判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，我們可以利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論，我們根據(jù)單調(diào)性的定義，可將不等式化為關(guān)于a的整式不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)為f（x）奇函數(shù)
∵函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0
∴f（-x）=4（-x）-（-x）²=-（x²+4x）=-f（x）
當(dāng)x=0時(shí)，-x=0
∴f（-x）=0=-f（x）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）-=-（4x-x²）=-f（x）
故f（-x）=-f（x）恒成立
故函數(shù)為f（x）奇函數(shù)
在區(qū)間[0，+∞）上，f'（x）=2x+4＞0恒成立
故f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增
又由奇函數(shù)的性質(zhì)，我們易得函數(shù)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)
（2）由函數(shù)
是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)
故f（2-a²）＞f（a），
可化為2-a²＞a
解得：-2＜a＜1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應(yīng)用，而分段函數(shù)分段處理，是解答本題的關(guān)鍵．