Question

某酒店根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在預(yù)訂了客房的客人中，會有

1

3

的人不來入住，所以酒店經(jīng)常采用超額預(yù)訂的方式，即預(yù)計(jì)出去的客房數(shù)超出可用客房數(shù)，由于超額預(yù)訂酒店會面臨的損失包括：若客人未能如約入住而產(chǎn)生一間空房的話，會造成50元的損失；而已經(jīng)預(yù)訂房間的客人由于超額預(yù)訂而不能得到房間時，酒店會損失100元（將客人安排到其他酒店的費(fèi)用），現(xiàn)將3間客房預(yù)訂給5位客人，設(shè)每位預(yù)訂客房的客人出現(xiàn)與否是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．
（Ⅰ）求5人中恰有2人不出現(xiàn)的概率；
（Ⅱ）求客人來沒有客房住的情況發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為酒店的損失，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得預(yù)訂客房的5位客人中不出現(xiàn)的人數(shù)X～B（5，

1

3

），由此能求出5人中恰有2人不出現(xiàn)的概率．
（Ⅱ）客人來沒有客房住的情況有兩種：X=0和X=1，由此能求出客人來沒有客房住的情況的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，50，100，150，200，對應(yīng)的X值分別為2，3，1或4，5，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得預(yù)訂客房的5位客人中不出現(xiàn)的人數(shù)X～B（5，

1

3

），
∴5人中恰有2人不出現(xiàn)的概率：
P₁=

C

2 5

(

1

3

)2(1-

1

3

)3=

80

243

．
（Ⅱ）客人來沒有客房住的情況有兩種：X=0和X=1，
∴客人來沒有客房住的情況的概率：
P₂=P（X=0）+P（X=1）
=

C

0 5

(1-

1

3

)5+

C

1 5

(

1

3

)(1-

1

3

)4=

112

80

．
ξ的可能取值為0，50，100，150，200，
∴P（ξ=0）=P（X=2）=

C

2 5

(

1

3

)2(1-

1

3

)3=

80

243

，
P（ξ=50）=P（X=3）=

C

3 5

(

1

3

)3(1-

1

3

)2=

40

243

，
P（ξ=100）=P（X=1）+P（X=4）=

C

1 5

(

1

3

)(1-

1

3

)4+

C

4 5

(

1

3

)4(1-

1

3

)=

90

243

，
P（ξ=150）=P（X=5）=

C

5 5

(

1

3

)5=

1

243

，
P（ξ=200）=P（X=0）=

C

0 5

（1-

1

3

）⁵=

32

243

，
ξ的分布列為：

ξ	0	50	100	150	200
P	80 243	40 243	90 243	1 243	32 243

∴Eξ=0×

80

243

+50×

40

243

+100×

90

243

+150×

1

243

+200×

32

243

=72.2．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．