Question

（本題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.

（1）求證：MN⊥平面ABN；（2）求二面角A—BN—C的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析； （2）所求的二面角的余弦值為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量 ，計(jì)算從而證明∴ 即可證明MN⊥平面ABN；

（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數(shù)量積求得二面角A-BN-C的余弦值．

解：法一 ：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AD為z軸的空間直角坐標(biāo)系，

                      則依題意可知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），

D（0，1，0），S（0，0，1）……………………2分

…………………………4分

∴MN⊥平面ABN.………………………………………6分

（2）設(shè)平面NBC的法向量且又易知

令a=1，則……………………………………9分

顯然，就是平面ABN的法向量.

………………………………………10分

………………………………………12分

法二：（1）由題意知連則可求，則

…………………………6分

 （2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315134832402947/SYS201301131514355427833947_DA.files/image021.png">，在平面內(nèi)作且，

又在，所以，

且  故所求的二面角的余弦值為………………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查向量法證明直線與平面的垂直，二面角的求法，考查學(xué)生計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是合理的建立空間直角坐標(biāo)系，然后準(zhǔn)確的表示點(diǎn)的坐標(biāo)，和法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而得到垂直的判定和二面角的平面角的求解。