Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a（a為常數(shù)）．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值及當(dāng)f（x）取得最大值時自變量的集合；
（2）若x∈[ 0 ， 

π

2

 ]時，|f（x）|＜2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到函數(shù)f（x）的最大值，根據(jù)正弦函數(shù)取最大值時角度的值列出關(guān)于x的方程，求出方程的解可得函數(shù)取最大值時x的集合；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)f（x）的范圍，求出原題中的絕對值不等式的解集，與f（x）的范圍比較列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（4分）
且sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）_max=a+3，（5分）
此時2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

6

，
則滿足題意的x集合為{ x|x=kπ+

π

6

 ， k∈Z }；（7分）
（2）當(dāng)x∈[ 0 ， 

π

2

 ]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴a≤f（x）≤3+a，（10分）
由|f（x）|＜2．即-2＜f（x）＜2，
得

a＞-2 a+3＜2

，
解得a∈（-2，-1）．（14分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，以及正弦函數(shù)的定義域及值域，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，不等式恒成立滿足的條件以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)．靈活運用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解第一問的關(guān)鍵，第二問利用自變量x的范圍，求出函數(shù)f（x）的值域，與絕對值不等式的解集比較，根據(jù)不等式恒成立列出關(guān)于a的不等式是解題的關(guān)鍵．