已知橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與橢圓C交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），求證：直線NM經(jīng)過定點(diǎn)．

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設(shè)直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點(diǎn).

試題解析：(Ⅰ)設(shè),由得   ,其中,

整理得點(diǎn)的軌跡方程為.                   (4分)

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，

解方程組，消去得，

設(shè)，則，，（8分）

從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，

方程為,即,過定點(diǎn),        (12分)

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，定點(diǎn)問題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若
ED
=6
DF
，求k的值；
（3）求四邊形AEBF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B為橢圓C：
x2
m+1
+
y2
m
=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且∠APB的最大值是
2π
3
，則m=
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C，D是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AC，BD的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0．若|k1|+|k2|的最小值為
3
，則橢圓的離心率為
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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