Question

9．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$目標函數(shù)z=ax+y僅在點（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，則實數(shù)a的取值范圍為（-3，1）．

Answer 1

分析 作出可行域，由目標函數(shù)z=ax+y僅在點（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，分a=0，a＜0，a＞0三種情況分類討論經(jīng)，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$，
∴作出可行域，如右圖可行域為△OAB，
∵目標函數(shù)z=ax+y僅在點B（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，
當a=0時，z=y僅在點B（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，成立；
當a＜0時，目標函數(shù)z=ax+y的斜率k=-a＜k_OB=3，∴a＞-3．
當a＞0時，目標函數(shù)z=ax+y的斜率k=-a＞k_AB=-1，∴a＜1．
綜上，-3＜a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍為（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意線性規(guī)劃知識的合理運用．