Question

9．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-3，1）．

Answer 1

分析 作出可行域，由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，分a=0，a＜0，a＞0三種情況分類(lèi)討論經(jīng)，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$，
∴作出可行域，如右圖可行域?yàn)椤鱋AB，
∵目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)B（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，
當(dāng)a=0時(shí)，z=y僅在點(diǎn)B（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）取最大值，成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的斜率k=-a＜k_OB=3，∴a＞-3．
當(dāng)a＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的斜率k=-a＞k_AB=-1，∴a＜1．
綜上，-3＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意線性規(guī)劃知識(shí)的合理運(yùn)用．