定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x,y∈R恒有f(x•y)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0.
(Ⅰ)求f(-1)的值;
(Ⅱ)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(Ⅲ)當(dāng)x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),求滿(mǎn)足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合.
分析:(1)令x=y=1,可得f(1)=0;再x=y=-1,可得f(-1)的值.
(2)令y=-1,并結(jié)合函數(shù)的定義域可得f(x)的奇偶函數(shù).
(3)由題意可得,不等式f(x+1)≤f(2-x)等價(jià)于|x+1|≤|2-x|,解得x的范圍,可得不等式的解集.
解答:解:(1)因?yàn)閷?duì)任意x,y∈R恒有f(x•y)=f(x)+f(y),
令x=y=1,可得f(1)=F(1)+f(1),∴f(1)=0;
再令x=y=-1,可得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,故有f(-1)=0.
(2)在f(x•y)=f(x)+f(y)中,令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)+0=f(x),
再由函數(shù)的定義域?yàn)镽,可得f(x)為偶函數(shù).
(3)由于偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足當(dāng)x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),可得 函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),
不等式f(x+1)-f(2-x)≤0,即 f(x+1)≤f(2-x),故此不等式等價(jià)于|x+1|≤|2-x|,解得 x≤
1
2

故不等式的解集為 (-∞,
1
2
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查求函數(shù)的值,函數(shù)的奇偶性的判斷,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當(dāng)x∈(0,4)時(shí),f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對(duì)稱(chēng)中心都在f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上.
(1)求f(x)的表達(dá)式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
,
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是( 。

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