Question

已知tan(3π+α)、cot(3π+α)是關(guān)于x的方程3x²-3kx+3k²-13=0的兩實(shí)根，且π＜α＜，求cos(5π+α)+sin(5π+α)的值.

Answer 1

思路分析：由韋達(dá)定理先求出方程中的k值，再化簡(jiǎn)求值.

解：tan(3π+α)=tan(π+α)=tanα，cot(3π+α)=cot(π+α)=cotα，

∵tanα、cotα是方程3x²-3kx+3k²-13=0的兩根，

∴

由①得，且能滿足Δ=9k²-12(3k²-13)＞0.

又∵π＜α＜，∴tanα＞0，sinα＜0,cosα＜0.

且由②知k＞0，∴k=.

∴.∴sinα=.

∴(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα=1+2×=1+.

又∵sinα+cosα＜0，

∴sinα+cosα=.

∴cos(5π+α)+sin(5π+α)=cos(π+α)+sin(π+α)=-(sinα+cosα)=.

方法歸納 與一元二次方程有關(guān)的問(wèn)題要注意聯(lián)想和使用根與系數(shù)的關(guān)系.