Question

已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|

BC

-

BA

|=

2

，求sin2θ的值；
（2）若實(shí)數(shù)m，n滿足m

OA

+n

OB

=

OC

，求（m-3）²+n²的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算（終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)）求出

BC

，

BA

，然后再根據(jù)向量減法和模的坐標(biāo)計(jì)算結(jié)合條件|

BC

-

BA

|=

2

得出sinθ+cosθ=

2

2

再兩邊平方即可得解．
（2）根據(jù)向量相等和條件m

OA

+n

OB

=

OC

求出

m= 2 2 (cosθ+sinθ) n= 2 2 (cosθ-sinθ)

然后再代入（m-3）²+n²中可得（m-3）²+n²=-3

2

（sinθ+cosθ）+10再結(jié)合輔助角公式可得（m-3）²+n²=-6sin（θ+

π

4

）+10從而可得出當(dāng)sin（θ+

π

4

）=-1時(shí)，（m-3）²+n²取得最大值16．

解答：解：（1）∵|

BC

-

BA

|=|

AC

|，A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）
∴

AC

=（

2

cosθ-1，

2

sinθ-1）
∴|

AC

|²=（

2

cosθ-1）²+（

2

sinθ-1）²=-2

2

（sinθ+cosθ）+4．
∴-2

2

（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=

2

2

，
兩邊平方得1+sin2θ=

1

2

，
∴sin2θ=-

1

2

．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（

2

cosθ，

2

sinθ），
∴

m+n= 2 cosθ m-n= 2 sinθ

解得

m= 2 2 (cosθ+sinθ) n= 2 2 (cosθ-sinθ)

∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3

2

（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+

π

4

）+10，
∴當(dāng)sin（θ+

π

4

）=-1時(shí)，（m-3）²+n²取得最大值16．

點(diǎn)評：本題主要考察了向量的坐標(biāo)計(jì)算、減法、模的坐標(biāo)計(jì)算以及三角函數(shù)的化簡求值，屬常考題型，較難．解題的關(guān)鍵是掌握常用的變形技巧：通過sinθ

+

.

cosθ兩邊平方求出sin2θ：通過輔助角公式可將-3

2

（sinθ+cosθ）+10化為-6sin（θ+

π

4

）+10！