已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的最大值;
(2)試討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)情況;
(3)設(shè)ak,bk,…(k=1,2,…,n)均為正數(shù),若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,求證:數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式≤1.

解:(1)當(dāng)a=1時,f′(x)=-1,當(dāng)x>1時,f′(x)<0,當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0.
故函數(shù)f(x)=lnx-ax在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù).
故fmax(x)=f(1)=ln1-1=-1.
(2)由 y=f(x)=0 可得lnx=ax,故函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為 y=lnx與 y=ax 的交點(diǎn)的個數(shù).
結(jié)合圖象可得,當(dāng)a≤0時,f(x)的零點(diǎn)個數(shù)僅有一個.
當(dāng)a>0時,令f′(x)=-a=0,可得 x=
由于 當(dāng)x>時,f′(x)<0,當(dāng)0<x<時,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,)上是增函數(shù),在(,+∞)上是減函數(shù).
故fmax(x)=f()=-lna-1.
故當(dāng)-lna-1>0時,即 0<a< 時,y=f(x)有2個零點(diǎn);當(dāng)a= 時,y=f(x)有1個零點(diǎn); 當(dāng)a> 時,y=f(x)沒有零點(diǎn).
綜上可得,當(dāng)a≤0或a= 時,y=f(x)有1個零點(diǎn); 當(dāng) 0<a< 時,y=f(x)有2個零點(diǎn); 當(dāng)a> 時,y=f(x)沒有零點(diǎn).
(3)由(1)可得,當(dāng)x∈(0,+∞)時,lnx≤x-1.
∵ak,bk 都是正數(shù),∴l(xiāng)nak<ak-1,
∴bk•lnak<bk(ak-1)=bk•ak-bk
∴l(xiāng)n+ln +…+ln <a1b1+a2b2+…+anbn -( b1+b2+…+bn).
又因?yàn)?a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,
∴l(xiāng)n+ln +…+ln ≤0,即ln()≤0,
≤1.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)f(x)=lnx-ax在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù),故fmax(x)=f(1).
(2)由 y=f(x)=0 可得lnx=ax,故函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為 y=lnx與 y=ax 的交點(diǎn)的個數(shù).結(jié)合圖象可得,當(dāng)a≤0或a= 時,y=f(x)有1個零點(diǎn); 當(dāng) 0<a< 時,y=f(x)有2個零點(diǎn); 當(dāng)a> 時,y=f(x)沒有零點(diǎn).
(3)由(1)可得,當(dāng)x∈(0,+∞)時,lnx≤x-1,可得 lnak<ak-1,故 bk•lnak<bk(ak-1)=bk•ak-bk.可得 ln+ln +…+ln <a1b1+a2b2+…+anbn -( b1+b2+…+bn),再由已知條件證得 ≤1成立.
點(diǎn)評:本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,用放縮法證明不等式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
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2(x-1)
x+1
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
f(n)
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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