Question

設，方程f（x）=x有唯一解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），且．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）若，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）問：是否存在最小整數(shù)m，使得對任意n∈N^*，有成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方程f（x）=x有唯一解，解得a，從而得到f（x）．
再由f（x₁）=，解得x₁最后由f（x_n）=x_n+1得到由等差數(shù)列的定義求解．
（2）將x_n代入a_n可求得a_n，再代入b_n=解得b_n，最后由錯位相消法求和．
（3）由f（x_n）=x_n+1＜恒成立，用最值法求解，只要即可．
解答：解：（1）∵方程f（x）=x有唯一解，
∴
∴．，即
∴，
又由∵f（x_n）=x_n+1
∴
數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列（4分）
故
∴．（6分）

（2）將x_n代入a_n可求得，
∴．
∴．（10分）

（3）∵對n∈N^*恒成立，
∴只要即可，
而．（12分）
即要，∴m＞2，故存在最小的正整數(shù)m=3．（14分）
點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了數(shù)列的定義，通項及錯位相消法求和，同時，還考查了構造數(shù)列研究通項及前n項和及恒成立問題．