Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為，準(zhǔn)線為l，點P（x，y）（y_o＞p）為拋物線C上的一點，且△FOP的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為．
（I）求拋物線C的方程；
（II）若圓F的方程為x²+（y-1）²=1，過點P作圓F的2條切線分別交x軸于點M，N，求△PMN面積的最小值及此事y的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得出圓心的縱坐標(biāo)為，由圓心到準(zhǔn)線的距離等于求出p的值，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出過P點的切線方程，由圓心F到切線的距離等于1整理得到關(guān)于切線斜率k的一元二次方程，方程的兩個根為兩條切線的斜率，由根與系數(shù)關(guān)系得到兩根的和與積（用P點的坐標(biāo)表示），單獨(dú)寫出兩切線的方程，求出M和N的坐標(biāo)，由數(shù)軸上的兩點間的距離公式寫出M、N的距離，把根與系數(shù)關(guān)系代入后化為P點縱坐標(biāo)的表達(dá)式，則三角形PMN的面積化為了關(guān)于P點縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，通過求導(dǎo)得到面積的最小值．
解答：解：（I）△FOP的外接圓的圓心在線段OF，F(xiàn)P的中垂線的交點上，且線段OF的中垂線為直線，
則圓心的縱坐標(biāo)為，故圓心到準(zhǔn)線的距離為，解得p=2，即拋物線C的方程為x²=4y．
（II）由題意知過點P的圓x²+（y-1）²=1的切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y-y=k（x-x），即kx-y-kx+y=0．
則點F（0，1）到直線的距離．令d=1，則，
整理得．
設(shè)兩條切線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，則，，
且直線PM：y-y=k₁（x-x），直線PN：y-y=k₂（x-x），故，．
因此．
所以．
設(shè)（t＞2），則，
令t²-3t-6=0，則（舍），或．
當(dāng)t∈時，f^′（t）＜0，f（t）在上單點遞減，
當(dāng)t∈時，f^′（t）＞0，f（t）在上單調(diào)遞增，
因此=
=．
所以△PMN面積的最小值為．
此時．
點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了方程思想和函數(shù)思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了學(xué)生的計算能力，繁雜的運(yùn)算量會使學(xué)生對該題失去信心．此題屬難題．