Question

已知二次函數(shù)y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數(shù)y=f₂（x）的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）證明：當a＞3時，關于x的方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）由題意已知二次函數(shù)y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），設出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x²+

8

x

=a²+

8

a

，在同一坐標系內作出f₂（x）=

8

x

和f₃（x）=-x²+a²+

8

a

的大致圖象，然后利用數(shù)形結合進行討論求證．

解答：解：（1）由已知，設f₁（x）=ax²，過點（1，1），
即f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）=x²．
設f₂（x）=

k

x

（k＞0），它的圖象與直線y=x的交點分別為
A（

k

，

k

）B（-

k

，-

k

）
由|AB|=8，得k=8，．∴f₂（x）=

8

x

．故f（x）=x²+

8

x

．

（2）證法一：f（x）=f（a），得x²+

8

x

=a²+

8

a

，
即

8

x

=-x²+a²+

8

a

．
在同一坐標系內作出f₂（x）=

8

x

和f₃（x）=-x²+a²+

8

a

的大致圖象，
其中f₂（x）的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，
f₃（x）與的圖象是以（0，a²+

8

a

）為頂點，開口向下的拋物線．
因此，f₂（x）與f₃（x）的圖象在第三象限有一個交點，
即f（x）=f（a）有一個負數(shù)解．
又∵f₂（2）=4，f₃（2）=-4+a²+

8

a

當a＞3時，．f₃（2）-f₂（2）=a²+

8

a

-8＞0，
∴當a＞3時，在第一象限f₃（x）的圖象上存在一點（2，f（2））在f₂（x）圖象的上方．
∴f₂（x）與f₃（x）的圖象在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數(shù)解．
因此，方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解．

證法二：由f（x）=f（a），得x²+

8

x

=a²+

8

a

，
即（x-a）（x+a-

8

ax

）=0，得方程的一個解x₁=a．
方程x+a-

8

ax

=0化為ax²+a²x-8=0，
由a＞3，△=a⁴+32a＞0，得
x₂=

-a2- a4+32a

2a

，x₃=

-a2+ a4+32a

2a

，
∵x₂＜0，x₃＞0，∴x₁≠x₂，且x₂≠x₃．
若x₁=x₃，即a=

-a2+ a4+32a

2a

，則3a²=

a4+32a

，a⁴=4a，
得a=0或a=

3	4

，這與a＞3矛盾，∴x₁≠x₃．
故原方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解．

點評：此題考查了方程根的存在性及其個數(shù)的判斷，還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，綜合性比較強，難度比較大．