Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，|的最小值為1，）（a為常數(shù)，且a＞c，t∈R）．動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
（1）•；
（2）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為m=（1，k）（k≠0）的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，使|60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）將|的長(zhǎng)度用G的坐標(biāo)表示成關(guān)于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值求出c的值．利用已知條件及唾液的第二定義判斷出曲線C為橢圓，寫出橢圓的方程．
（II）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為B在MN的中垂線上得到
m=，根據(jù)已知得到△BMN為等邊三角形，得到點(diǎn)B到直線MN的距離d與|MN|的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式求出d與|MN|，列出方程求出k的值．
解答：解（1）∵|，
∴

由．
由（1）、（2）可知點(diǎn)P到直線x=，再由橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，
橢圓C的方程為：．
由（3）可知b=1，
∴a²=b²+c²=1+2=3．
∴橢圓C的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
x₁+x₂=
△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0    ①
線段MN的中點(diǎn)G（x，y），
x=，
線段MN的垂直平分線的方程為：y-
∵|，
∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點(diǎn)，
∴-1-，
∴m=②
②代入①，得3k²-（．③
∵|°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴點(diǎn)B到直線MN的距離d=
|MN|=
=
∴，
解得k²=③式．代入②，得m=．
直線l的方程為：y=
點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的相交的有關(guān)問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于應(yīng)該未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理來解決．