Question

某發(fā)電廠在節(jié)能減排的科研活動(dòng)中，對(duì)熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究，對(duì)該廠A號(hào)機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為a噸，在正常狀態(tài)下，通過自動(dòng)傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以生產(chǎn)電能x³-x+10千瓦，而由于實(shí)際添加量x與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a存在誤差，實(shí)際上會(huì)導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦，最終生產(chǎn)的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫出f（x）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）該科研小組決定調(diào)整設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a，控制添加量x∈[

1

2

，

3

2

]（單位：噸），實(shí)現(xiàn)對(duì)最終生產(chǎn)的電能f（x）的有效控制的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，若某次試驗(yàn)中a∈[

1

2

，1]（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不低于9千瓦，否則將供電不正常，試問這次實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥?shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=x³-x+10-2|x-a|=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，從而由導(dǎo)數(shù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，f（x）在[

1

2

，a），[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減，從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）由題意，
f（x）=x³-x+10-2|x-a|
=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，
∵當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x≥a時(shí)，f′（x）=3x²-3，
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，a），[1，+∞）；
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為R；
（2）當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，f（x）在[

1

2

，a），[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減，
且f（

1

2

）=

1

8

+

1

2

+10-2a有可能小于9，
故這次實(shí)驗(yàn)不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及分段函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．