Question

如圖所示，多面體FE-ABCD中，ABCD和ACFE都是直角梯形，DC∥AB，AE∥CF，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CF=2AE=，∠ACF=∠ADC=．
（I）求證：BC⊥平面ACFE；
（II）求二面角B-FE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵，又AD=DC=AB，∴BC⊥AC，…（2分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACFE；…（4分）
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AE為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AE=a，則D（0，2a，0），B（4a，0，0），E（0，0，a），F(xiàn)（2a，2a，2a），…（6分）
設(shè)，平面BEF，平面DEF，，
則，令x₁=1，∴，
∴…（8分）
由，令x₂=1，∴，∴…（9分）
∴，
故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是．…（12分）
分析：（Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，可證BC⊥平面ACFE；
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算求出平面DEF、平面BEF的一個(gè)法向量，進(jìn)而由兩個(gè)法向量求出二面角余弦值的大小．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而便于幾何體的線面關(guān)系以及建立坐標(biāo)系利用向量解決空間角與空間距離的問(wèn)題