Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx，（a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．討論①當(dāng)a＞0時(shí)②當(dāng)a＜0時(shí)的情況，從而分別求出其單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，設(shè)g（x）=axlnx-3ax-1，通過求導(dǎo)得出g（x）_min=g（e²）=-ae²-1，從而a＞-

1

e2

．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x的定義域?yàn)椋?，+∞）．
因?yàn)閒′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
①當(dāng)a＞0時(shí)，隨著x變化時(shí)，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

即函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＜0時(shí)，隨著x變化時(shí)，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

即函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞增，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
axlnx＜3ax+1．
所以axlnx-3ax-1＜0．
設(shè)g（x）=axlnx-3ax-1．
因?yàn)間′x）=a（lnx-2），
令g′（x）=0，解得x=e²．
因?yàn)閍＜0，
所以隨著x變化時(shí)，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗		↘

即函數(shù)g（x）在（0，e²）上單調(diào)遞增，在（e²，+∞）上單調(diào)遞減．
所以g（x）_min=g（e²）=-ae²-1．
所以-ae²-1＜0．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范圍為（-

1

e2

，0）．
法二：
當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
即axlnx＜3ax+1．
所以a（xlnx-3x）＜1．
即

1

a

＜xlnx-3x．
設(shè)g（x）=xlnx-3x．
因?yàn)間′（x）=lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e²．
所以隨著x變化時(shí)，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

即函數(shù)g（x）在（0，e²）上單調(diào)遞減，在（e²，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）_min=g（e²）=-e²．
所以

1

a

＜-e²．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范圍為（-

1

e2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的范圍，是一道綜合題．