設函數(shù)f（x）=x（x-a）2，
（I）證明：a＜3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件；
（II）若x∈[0，|a|+1]時，f（x）＜2a2恒成立，且f（0）=0，求實數(shù)a的取值范圍．
（I）∵f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減，
∴其導函數(shù)f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立．
∴
f′(1)≤0
f′(2)≤0
?
a2-4a+3≤0
a2-8a+12≤0
?
1≤a≤3
2≤a≤6
?2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
解法二：f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a）≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴
a
3
＜x＜a，∴
a
3
≤ 1
a≥2
∴2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
（II）∵f（x）=x（x-a）2f′(x)=3(x-a)(x-
a
3
)
當a＞0時，函數(shù)y=f（x）在（-∞，
a
3
）上遞增，
在(
a
3
，a)上遞減，在(
a
3
，+∞)上遞增，
故有
f(
a
3
)＜2a2
f(a+1)＜2a2
?1＜a＜
27
2

當a＜0時，函數(shù)y=f（x）在(
a
3
，+∞)上遞增，
∴只要f（1-a）＜2a2?4a3-6a2+5a-1＞0
令g（a）=4a3-6a2+5a-1，
則g′(a)=12a2-12a+5=12(a-
1
2
)2+2＞0
所以g（a）在（-∞，0）上遞增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a2不能恒成立
故所求的a的取值范圍為1＜a＜
27
2
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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