Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（

x

4

+1），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)（n，S_n）都在f（x）的反函數(shù)圖象上，又bn=a_n-log₂a_n，{b_n}前n項(xiàng)和為B_n，C_n=log

4	2

an-5，{c_n}前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n；
（3）比較

1

4

B_n與T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)（n，S_n）都在f（x）的反函數(shù)圖象上，則（S_n，n）在函數(shù)f（x）=log₂（

x

4

+1）上，代入求出Sn，再利用公式
sn=

s1     (n=1)   sn-sn-1(n≥2)

求出a_n
（2）利用bn=a_n-log₂a_n  求出b_n的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和即可
（3）利用C_n=log

4	2

an-5，求出{c_n}的通項(xiàng)公式，求和得Tn，先令n=1、2、3時(shí)，比較大小，再用二項(xiàng)式定理證明當(dāng)n≥3時(shí) 

1

4

B_n＞T_n   即可．

解答：解：（1）依題意，n=log₂（

sn

4

+1），∴S_n=2ⁿ⁺²-4
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹
n=1時(shí)，a₁=S₁=2³-4=4，也適合上式
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*
（2）∵bn=a_n-log₂a_n=（n+1）2ⁿ⁺¹
∴B_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹    ①
2B_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺²   ②
②-①得：B_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺² 
=-2³-

23(1-2n-1)

1-2

+（n+1）2ⁿ⁺² 
=（n+1）2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
=n2ⁿ⁺²
∴B_n=n2ⁿ⁺²
（3）C_n=log

4	2

an-5=4n-1
易得T_n=n（2n+1）
當(dāng)n=1時(shí) 

1

4

B_n=2，T_n=3，

1

4

B_n＜T_n
當(dāng)n=2時(shí) 

1

4

B_n=8，T_n=10，

1

4

B_n＜T_n
當(dāng)n=3時(shí) 

1

4

B_n=24，T_n=21，

1

4

B_n＞T_n
當(dāng)n≥3時(shí) 

1

4

B_n=n2ⁿ
2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_n^n-1+C_nⁿ＞C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1=2n+1
∴

1

4

B_n＞T_n
綜上所述，當(dāng)n=1、n=2時(shí) 

1

4

B_n＜T_n 當(dāng)n≥3時(shí) 

1

4

B_n＞T_n

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法求和及比較兩個(gè)數(shù)列大小的方法和思路，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)，善于總結(jié)