Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對(duì)于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x₁|＞x₂，④$x_1^2＜x_2^2$其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是序號(hào)是②．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可以判定其單調(diào)性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：∵f′（x）=2x+sinx，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）=0；當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，都有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
根據(jù)以上結(jié)論可得：
①當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當(dāng)x₁²＞x₂²時(shí)，得|x₁|＞|x₂|，則f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③當(dāng)|x₁|＞x₂時(shí)，則f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④當(dāng)$x_1^2＜x_2^2$時(shí)，得|x₁|＜|x₂|，則f（|x₁|）＜f（|x₂|）?f（x₁）＜f（x₂）恒成立；
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是②，
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵．