Question

已知函數．

（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；

（2）若函數在上的最小值為3，求實數的值．

 

Answer 1

（1），（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用導數研究函數單調性，在上是增函數就是≥0在上恒成立，恒成立問題一般利用變量分離轉化為最值問題，即≤在上恒成立．令，則≤．∵在上是增函數，∴．∴≤1．所以實數的取值范圍為．（2）利用導數研究函數最值，實際還是研究函數單調性. ①若，,，解得（舍去）．②若，當時，，當時，，，解得（舍去）．③若，則,，所以．

【解析】
（1）∵，∴． 2分

∵在上是增函數，

∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立． 4分

令，則≤．

∵在上是增函數，∴．

∴≤1．所以實數的取值范圍為． 7分

（2）由（1）得，．

①若，則，即在上恒成立，此時在上是增函數．

所以，解得（舍去）． 10分

②若，令，得．當時，，所以在上是減函數，當時，，所以在上是增函數．

所以，解得（舍去）． 13分

③若，則，即在上恒成立，此時在上是減函數．

所以，所以．------16分

考點：利用導數研究函數單調性，利用導數研究函數最值.