已知橢圓C的方程為左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在 中,設(shè),,由余弦定理得，

即，即，得.

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image011.png">，，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image014.png">所以，

所以所求橢圓的方程為.                    

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，

由得，即，

，，

由得，，又，，

則，，

，

那么，

則直線過(guò)定點(diǎn).                

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image023.png">，，

，

，，

，所以或.  

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類(lèi)題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)A、B分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-
3
3
x被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為
15
6
；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)P點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為
3
4
；若存在，請(qǐng)求出所有的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF1的周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•洛陽(yáng)二模）已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1（-2，0）為左焦點(diǎn)，點(diǎn)M（
2
，
3
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)L3與橢圓C相交于點(diǎn)A，B．l2 與橢圓C相交于點(diǎn)D．E，求
AD
•
EB
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過(guò)其左焦點(diǎn)F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點(diǎn)M，使以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且過(guò)M點(diǎn)的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案