已知
a
=（sinα，-2），
b
=（1，cosα），且
a
⊥
b
．
（1）求cos2α-sinαcosα的值；
（2）若α∈(0，
π
2
)，β∈(-
π
2
，0)，且cos(α-β)=-
10
10
，求β的值．
分析：（1）利用向量的垂直，數(shù)量積為0，求出tanα=2，化簡cos2α-sinαcosα分子、分母同除cos2α的值，得到tanα的表達式，即可求出值；
（2）通過α∈(0，
π
2
)，β∈(-
π
2
，0)，求出sinα=
2
5
5
， cosα=
5
5
，利用cos(α-β)=-
10
10
，求出sin（α-β）然后利用sinβ=sin[α-（α-β）]，即可求β的值．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0，即sinα-2cosα=0，從而tanα=2．…（4分）
∴cos2α-sinαcosα=
cos2α-sinαcosα
sin2α+cos2α
=
1-tanα
tan2α+1
=
1-2
4+1
=-
1
5
．…（8分）
（2）由tanα=2及α∈(0，
π
2
)，得sinα=
2
5
5
， cosα=
5
5
．…（10分）
又β∈(-
π
2
，0)，∴α-β∈（0，π），
∴sin(α-β)=
1-cos2(α-β)
=
3
10
10
，…（12分）
sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=
2
5
5
•(-
10
10
)-
5
5
•
3
10
10
=
2
5
5
•(-
10
10
)-
5
5
•
3
10
10
=-
2
2
．…（14分）
∵β∈(-
π
2
，0)，∴β=-
π
4
．．…（16分）
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，注意角的變換的技巧是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（sinθ，cosθ）、
b
=（
3
，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若f（θ）=|
a
+
b
|，△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三條邊分別為a、b、c，且a=f（0），b=f（-
π
6
），c=f（
π
3
），求
AB
•
AC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中，正確的是
①②③
①②③

①平面向量
a
與
b
的夾角為60°，
a
=（2，0），|
b
|=1，則|
a
+
b
|=
7
；
②已知
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
）其中θ∈（π，
3π
2
）則
a
⊥
b
；
③O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：
OP
=
OA
+λ（
AB
sinC
+
AC
sinB
），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（sinα，cos2α），
b
=（2sinα-1，1），α∈（
π
2
，π），若
a
•
b
=
2
5
，則tan（α+
π
4
）的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(cosα+sinα，cosα)，
b
=(m，sinα)，（α∈(
π
12
，π]，m∈R）
（1）求函數(shù)f(α)=
a
•
b
解析式
（2）求函數(shù)y=f（α）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•重慶三模）已知
a
=（sinωx，-cosωx），
b
=（sinωx，
3
sinωx）（ω＞0），若函數(shù)f（x）=
a
•
b
的最小正周期為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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同步練習(xí)冊答案