Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+blnx和$g（x）=\frac{x-10}{x-4}$的圖象在x=5處的切線互相平行．
（1）求b值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)f（x）與g（x）在x=4處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=5處的切線互相平行，建立等量關(guān)系，求出b即可；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值．

解答 解：（1）g'（x）=$\frac{6}{{（x-4）}^{2}}$，∴g'（5）=6，
∵函數(shù)f（x）=x²+blnx和g（x）的圖象在x=5處的切線互相平行
∴f'（5）=6，
而f'（x）=2x+$\frac{x}$，則f'（5）=10+$\frac{5}$=6
∴b=-20；
（2）由（1）得：
f（x）=x²-20lnx，顯然f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f'（x）=$\frac{{2x}^{2}-20}{x}$，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$（舍去）
∴當(dāng)0＜x＜$\sqrt{10}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞$\sqrt{10}$時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在（0，$\sqrt{10}$）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（$\sqrt{10}$，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)
∴f（x）在x=$\sqrt{10}$時(shí)取得極小值且極小值為f（$\sqrt{10}$）=10-10ln10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力．