已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),f(2)=-
5
3

(1)求a,b的值;
(2)請用函數(shù)單調(diào)性的定義說明:f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性;
(3)求f(x)的值域.
分析:(1)由f(-x)=-f(x)可求b,f(2)=-
5
3
,可求a;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義任取1<x1<x2,作差f(x1)-f(x2),判斷符號;
(3)利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可求得f(x)的值域.
解答:解:(1)由f(-x)=-f(x)得:b=0,由f(2)=-
5
3
得a=2…..(4分)
(2)f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)
在(1,+∞)上為減函數(shù).
證明:任取1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-
2
3
(x1-x2)(1-
1
x1x2
)>0
,
所以f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)…(8分)
(3)同理,f(x)在(0,1)遞增∴x>0時,f(x)≤f(1)=-
4
3
,
又f(x)為奇函數(shù),∴x<0時f(x)≥
4
3
,
綜上所述,f(x)的值域為(-∞,-
4
3
]∪[
4
3
,+∞)
…(11分)
點評:本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,重點考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性單調(diào)性及靈活應(yīng)用之求值域,解決的方法是特值法與函數(shù)單調(diào)性的定義法,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數(shù)(a,b是常數(shù)),且函數(shù)f(x)的圖象過點(1,
1
3
)

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)定義正數(shù)數(shù)列{an},a1=
1
2
,
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)
,求數(shù)列{an2}的通項公式;
(3)已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
,設(shè)Sn為bn的前n項和,證明:
1
6
Sn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
(a,b為常數(shù))為奇函數(shù),且過點(1,
1
3
)

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)定義正數(shù)數(shù)列{an},a1=
1
2
,
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)
,證明:數(shù)列{
1
a
2
n
-2}
是等比數(shù)列;
(3)令bn=
1
a
2
n
-2,Sn為{bn}
的前n項和,求使Sn
31
8
成立的最小n值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a>0)
是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)有最小值2
2
,求f(x)的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,且f(c)=0,當(dāng)0<x<c時,f(x)>0.

(1)求證:>c;

(2)求證:-2<b<-1;

(3)當(dāng)c>1,t>0時,求證:++>0.

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