Question

（理）已知正數(shù)列{a_n}中，對任意的正整數(shù)n，都（n+1）a_n²-a_na_n+1²=na_n+1²成立，且a₁=2，則極限

lim

n→∞

an

3n+1

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，得到

an+1

an

=

n+1

n

，利用累乘法即可求得該數(shù)列的通項公式，根據(jù)極限的求法即可求得結(jié)果．

解答：解：∵na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1
即[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+a_n+1）=0
∴（n+1）a_n-na_n+1=0 或a_n+a_n+1=0
又∵數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)
∴

an+1

an

=

n+1

n

，
∴

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

…

an

an-1

=

n

n-1

∴

an

a1

=

n

1

，∴a_n=2n，
∴極限

lim

n→∞

an

3n+1

=

lim

n→∞

2n

3n+1

=

2

3

點評：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式的方法，對于此種類型的題目首先化簡遞推式，推導(dǎo)出相鄰兩項的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬中檔題．