設(shè)f（x）=
ax2+bx+1
x+c
（a＞0）為奇函數(shù)，且|f（x）|min=2
2
，數(shù)列{an}與{bn}滿足如下關(guān)系：a1=2，an+1=
f(an)-an
2
，bn=
an-1
an+1
．
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）證明：當(dāng)n∈N+時(shí)，有bn≤(
1
3
)n．
由f（x）是奇函數(shù)，得b=c=0，
由|f（x）min|=2
2
，得a=2，故f（x）=
2x2+1
x

（2）an+1=
f(an)-an
2
=
2
a2n
+1
a n
-an
2
=
a2n
+1
2an
，
bn+1=
an+1-1
an+1+1
=
a2n
+1
2an
-1
a2n
+1
2an
+1
=
a2n
-2an+1
a2n
+2an+1
=(
an-1
an+1
)2=bn2
∴bn=bn-12=bn-24═
b2n-11
，而b1=
1
3

∴bn=(
1
3
)2n-1
當(dāng)n=1時(shí)，b1=
1
3
，命題成立，
當(dāng)n≥2時(shí)∵2n-1=（1+1）n-1=1+Cn-11+Cn-12++Cn-1n-1≥1+Cn-11=n
∴(
1
3
)2n-1＜(
1
3
)n，即bn≤(
1
3
)n．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對(duì)于任意-1≤x≤1，有f（x）|≤1；求證|f（2）|≤7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ax2+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是
54
，求a的值；
（2）若對(duì)于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于給定正數(shù)k，定fk（x）=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)＞k)
，設(shè)f（x）=ax2-2ax-a2+5a+2，對(duì)任意x∈R和任意a∈（-∞，0）恒有fk(x)=
f(x)
，則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）設(shè)f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（2）的最大值為
14
14
．

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