Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)h使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+h∈M，且f（x+h）≥f（x），則稱f（x）為M上的h高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x為R上的1高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．
④函數(shù)f（x）=1g（|x-2|+1）上的2高調(diào)函數(shù)．
其中正確命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①函數(shù)f（x）=2^-x為R上的遞減函數(shù)，可判斷①的正誤；
②由正弦函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，從而可判斷②的正誤；
③函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，只有[-1，1]上至少需要加2，從而可求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
④f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），知函數(shù)f（x）=lg（|x-2|+1）為[1，+∞）上的2高調(diào)函數(shù)，從而可知④的正誤．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x為R上的遞減函數(shù)，故不存在x+l∈D，使得f（x+l）≥f（x），故①不正確；
②∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，故②正確；
③如果定義域?yàn)閇-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，
只有[-1，1]上至少需要加2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故③正確；
④∵f（x）=lg（|x-2|+1），x∈[1，+∞），
∴f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），
∴函數(shù)f（x）=lg（|x-2|+1）為[1，+∞）上的2高調(diào)函數(shù)，故④正確；
綜上可知，真命題為②③④．
故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與說明，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對于一個新定義的概念，解題時要注意理解與把握．