Question

17．某書店銷售剛剛上市的某知名品牌的高三數(shù)學單元卷，按事先擬定的價格進行5天試銷，每種單價試銷1天，得到如表數(shù)據(jù)：

單價x（元）	18	19	20	21	22
銷量y（冊）	61	56	50	48	45

（1）求試銷5天的銷量的方差和y對x的回歸直線方程；
（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的回歸方程，已知每冊單元卷的成本是14元，
為了獲得最大利潤，該單元卷的單價應定為多少元？
附：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，a=$\overline y$-b$\overline x$．

Answer 1

分析 1）計算平均數(shù)，利用公式求出a，b，即可得出y對x的回歸直線方程；
（2）設獲得的利潤為z元，利用利潤=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求獲得的利潤最大．

解答 解：（1）∵$x=\frac{18+19+20+21+22}{5}=20，y=\frac{61+56+50+48+45}{5}=52$，
$s_y^2=\frac{1}{5}（{{9^2}+{4^2}+{2^2}+{4^2}+{7^2}}）=33.2$，
∵$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}（{{y_i}-y}）=-40，{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}^2}=10$，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}（{{y_i}-y}）}}{{{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}}^2}}}=-4，\widehata=y-\widehatbx=52+20×4=132$，
所以y對x的回歸直線方程為：$\widehaty=-4\widehatx+132$．
（2）獲得的利潤z=（x-14）y=-4x²+188x-1848，
∵二次函數(shù)z=-4x²+188x-1848的開口朝下，
∴當$x=\frac{188}{8}=23.5$時，z取最大值，
∴當單價應定為23.5元時，可獲得最大利潤．

點評 本題主要考查回歸分析，考查二次函數(shù)，考查運算能力、應用意識，屬于中檔題．