Question

【題目】數列{an}中，a1=1，an﹣an+1=anan+1 ， n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）Sn為{an}的前n項和，bn=S2n﹣Sn ， 求bn的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．∴ =1，

∴數列 是等差數列，公差為1，首項為1．

∴ =1+（n﹣1）=n，可得an=

（2）解：由（1）可得：Sn=1+ +…+ ．

∴bn=S2n﹣Sn= +…+ ．

∴bn+1﹣bn= +…+ + + ﹣（ +…+ ）

= + ﹣ = ﹣ ＞0，

∴數列{bn}單調遞增，∴bn的最小值為b1=

【解析】（1）由a1=1，an﹣an+1=anan+1 ， n∈N* ． 可得 =1，利用等差數列的通項公式即可得出．（2）由（1）可得：bn=S2n﹣Sn= +…+ ．再利用數列的單調性即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．