Question

【題目】已知函數(shù)，已知函數(shù)在x=1處的切線方程為.

（1）求a的值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）1.（2）證明見解析

【解析】

(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)要證原不等式成立,可考慮構(gòu)造函數(shù),然后轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)函數(shù)的范圍,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可求.

(1)f′(x)=ex﹣2ax,

由題意可知,f′（1）=e﹣2a=e﹣2,

所以a=1；

(2)證明：∵函數(shù)在x=1處的切線方程為y=(e﹣2)x+1.

故可猜想：當(dāng)x>0且x≠1時(shí),f(x)的圖象恒在切線y=(e﹣2)x+1的上方,

下證當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥(e﹣2)x+1,

設(shè)g(x)=f(x)﹣(e﹣2)x+1,x>0,則g′(x)=ex﹣2x﹣e+2,g″(x)=ex﹣2,

∴g′(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>g′(0)=3﹣e,g′（1）=0,0<ln2<1,

所以g′(ln2)<0,

故存在x0∈(0,ln2)使得g′(x0)=0,

所以,當(dāng)x∈(0,x0),(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

又g(0)=g（1）=0,

所以g(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1≥0,

則g(x)=ex +(2-e)x﹣1≥x2，由

所以

令h(x)=x﹣lnx﹣1,x>0

則,

易得x=1是函數(shù)h(x)的極小值點(diǎn),

所以h(x)≥h（1）=0,

故x≥lnx+1

所以,當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),

即證.