過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( )
A.有且僅有一條
B.有且僅有兩條
C.有無窮多條
D.不存在
【答案】
分析:過拋物線y
2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),先看直線AB斜率不存在時(shí),求得橫坐標(biāo)之和等于2,不符合題意;進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k(x-1)與拋物線方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,進(jìn)而求得k.得出結(jié)論.
解答:解:過拋物線y
2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),
若直線AB的斜率不存在,則橫坐標(biāo)之和等于2,不適合.
故設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB為y=k(x-1)
代入拋物線y
2=4x得,k
2x
2-2(k
2+2)x+k
2=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5,
∴
,
則這樣的直線有且僅有兩條,
故選B.
點(diǎn)評:本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用.解題的時(shí)候要注意討論直線斜率不存在時(shí)的情況,以免遺漏.