Question

已知函數(shù)在點x=1處取極值，且函數(shù)在區(qū)間（a-6，2a-3）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：利用f′（1）=0可得a，b的關(guān)系，并驗證是否取得極值；進而由g′（x）≤0得出區(qū)間與區(qū)間（a-6，2a-3）的關(guān)系即可得出a的取值范圍．
解答：解：f′（x）=x³+bx²-（2+a）x+2a，
由f′（1）=0，得1+b-（2+a）+2a=0，化為b=1-a．
∴f′（x）=x³+（1-a）x²-（2+a）x+2a=（x-1）（x+2）（x-a）．
若a=1，則x=1不是函數(shù)f（x）的極值點，故b=1-a，且a≠1．
g′（x）=x³+bx²-（a-1）x-a=x³+（1-a）x²-（a-1）x-a=（x-a）（x²+x+1）．
當x＜a時，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減．
∴區(qū)間（a-6，2a-3）⊆（-∞，a）．
∴a-6＜2a-3≤a，解得-3＜a≤3．
綜上可知：a的取值范圍是（-3，1）∪（1，3]
點評：熟練掌握函數(shù)在某一點取得極值的充分條件、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．