Question

已知點A（-3，0）和圓O：x²+y²=9，AB是圓O的直徑，M和N是AB的三等分點，P（異于A，B）是圓O上的動點，PD⊥AB于D，

PE

=λ

ED

(λ＞0)，直線PA與BE交于C，要使|CM|+|CN|為定值，則λ的值為（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  10

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點：向量數(shù)乘的運算及其幾何意義

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設P（m，n），則m²+n²=9，得到n²=9-m²．（*）設E（s，t），利用

PE

=λ

ED

（λ＞0），可得E(m，

n

1+λ

)．得到直線BE的方程為：y=

n 1+λ -0

m-3

(x-3)，又直線AP的方程為：y=

n-0

m+3

(x-3)．將兩式相乘可得點C的軌跡方程，再利用橢圓的定義即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設P（m，n），則m²+n²=9，得到n²=9-m²．（*）
設E（s，t），∵

PE

=λ

ED

（λ＞0），
∴（s-m，t-n）=λ（0，-t），
解得

s=m t= n 1+λ

，
即E(m，

n

1+λ

)．
∴直線BE的方程為：y=

n 1+λ -0

m-3

(x-3)，
又直線AP的方程為：y=

n-0

m+3

(x-3)．
兩式相乘可得：y2=

n2

(1+λ)(m2-9)

(x2-9)，
把（*）代入可得y2=

-1

1+λ

(x2-9)，即為點C的軌跡方程．
化為

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1．
∵λ＞0，可知：點C在此橢圓上，焦點分別M（-1，0），N（1，0），a²=9．
∴1+

9

1+λ

=9，
解得λ=

1

8

．
因此當λ=

1

8

時，滿足|CM|+|CN|=6為定值．
故λ=

1

8

．
故選：A．

點評：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、橢圓的定義及其性質(zhì)、直線相交問題，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，屬于難題．