已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則
a
b
的值為(  )
分析:由于f′(x)=3x2+2ax+b,依題意知,f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,于是有b=-3-2a,代入f(1)=10即可求得a,b,從而可得答案.
解答:解:∵f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,
∴f′(x)=3x2+2ax+b,
又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,
∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,
∴a2+8a+12=0,
∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
當(dāng)a=-2,b=1時(shí),f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),
當(dāng)
1
3
<x<1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在x=1處取得極小值,與題意不符;
當(dāng)a=-6,b=9時(shí),f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
當(dāng)x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)<x<3時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在x=1處取得極大值,符合題意;
a
b
=-
6
9
=-
2
3

故選A.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,求得f′(x)=3x2+2ax+b,利用f′(1)=0,f(1)=10求得a,b是關(guān)鍵,考查分析、推理與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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