Question

以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為pcosθ-psinθ+2=0，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），點(diǎn)M（x₀，y₀）在曲線C₁上，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）其坐標(biāo)滿足

x= 1 4 x0 y=y0

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）記動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡為曲線C₂，試判斷直線l與曲線C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）依題意有

x0=4cosθ y0=sinθ

，結(jié)合

x= 1 4 x0 y=y0

，可得

x=cosθ y=sinθ

，消去參數(shù)可得；（Ⅱ）易得直線l的直角坐標(biāo)方程，由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系可判．

解答： 解：（Ⅰ）依題意有

x0=4cosθ y0=sinθ

，
∵

x= 1 4 x0 y=y0

，∴

x=cosθ y=sinθ

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=1；
（Ⅱ）依題意，直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0，
由（Ⅰ）知，P的軌跡是以（0，0）為圓心，1為半徑的圓，
∵圓心到直線x-y+2=0的距離為

|0-0+2|

12+(-1)2

=

2

＞1
∴直線l與曲線C₂沒有交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．